n個からr個を選ぶ場合の数（順列・組み合わせ・重複あり）と、基本的な確率、 くじ引き・抽選の当選確率までまとめて計算できる数学ツールです。
順列（nPr）
nPr = n! / (n-r)!
途中式
5! ÷ (5-3)! = 120 ÷ 2 = 60
全体の個数（n）
選ぶ個数（r）
この計算の意味
5個の中から3個を選び、順序を区別して並べる場合の数です。
応用：抽選の当選確率シミュレーター
全体の本数
当たりの本数
引く本数
全部当たる確率
6.67%
少なくとも1本当たる確率
53.33%
ADVICE
「順位を決める」「並べ方を区別する」問題には順列（nPr）を使います。組み合わせ（nCr）と迷ったら、順序を入れ替えたときに結果が変わるかを確認しましょう。
順列・組み合わせ・確率とは？公式と使い分けをまとめて理解する
「場合の数」を数える計算には、大きく分けて順列（nPr）・組み合わせ（nCr）・重複順列・重複組み合わせの4種類があります。どれを使うべきかは「順序を区別するか」「同じものを繰り返し選べるか」という2つの条件によって決まります。
本ツールは、n・rの2つの数値を入力するだけで、この4種類の場合の数を途中式付きで自動計算できるオンライン電卓です。内部ではBigInt演算を使用しているため、桁数の大きな計算でも正確な値を求められます。
あわせて、基本的な確率計算や、くじ引き・抽選の当選確率シミュレーターも搭載しており、数学の学習から実務での確率検討まで幅広く活用できます。
こんなシーンで便利です
数学の宿題・試験対策で公式の答え合わせに
順列・組み合わせの問題を解いたあと、計算結果や途中式が正しいかをすぐに確認したい場合に使えます。
暗証番号やパスワードのパターン数を知りたい時に
「n種類の文字・数字を使ってr桁のパスワードを作る場合、何通りのパターンがあるか」を重複順列（n^r）で瞬時に計算できます。
チーム分け・座席順・抽選の場合の数を検討する時に
メンバーの選び方（組み合わせ）や、順位・座席の決め方（順列）など、日常やイベント運営で必要になる場合の数の検討に活用できます。
くじ引き・抽選企画の当選確率を事前に見積もりたい時に
抽選企画を設計する際に、当たりの本数と引く本数から「全部当たる確率」「少なくとも1本当たる確率」を事前にシミュレーションできます。
使い方は簡単 4ステップ
- 「順列」「組み合わせ」「重複順列」「重複組み合わせ」「確率」の中から計算したいモードを選びます。
- 全体の個数「n」と、選ぶ個数「r」を入力します（確率モードでは全体の場合の数と条件を満たす場合の数を入力します）。
- 結果と計算式、途中式が自動で表示されます。必要に応じて一覧表示で実際のパターンも確認できます。
- 「抽選の当選確率シミュレーター」では、全体の本数・当たりの本数・引く本数を入力すると当選確率も計算できます。
※すべての計算はブラウザ内のJavaScriptで完結し、入力した数値がサーバーに送信されることはありません。
ご利用時の注意点
- 本ツールは教育・実務での目安計算を目的としています。試験や正式な統計・確率計算では、必ずご自身でも計算過程を確認してください。
- nが大きい場合、階乗の途中式（n!など）は桁数が膨大になるため表示を省略し、最終結果のみを表示します。
- 一覧表示（列挙）は、現実的に表示可能な件数（目安としてn≦12程度）に収まる場合のみご利用いただけます。
- 完全無料・安全：入力した数値は一切送信されず、通信が発生しないブラウザ完結型を採用しています。
4種類の「場合の数」の公式と具体例（n=5, r=3の場合）
同じn=5、r=3という条件でも、順序の区別と重複の可否によって結果が大きく異なります。
| 種類 | 公式 | n=5, r=3の結果 | 順序の区別 | 重複 |
|---|---|---|---|---|
| 順列（nPr） | n! / (n-r)! | 60通り | 区別する | 不可 |
| 組み合わせ（nCr） | n! / (r!(n-r)!) | 10通り | 区別しない | 不可 |
| 重複順列 | n^r | 125通り | 区別する | 可 |
| 重複組み合わせ | (n+r-1)Cr | 35通り | 区別しない | 可 |
※上表はn=5・r=3を固定した場合の参考例です。実際の値はツール本体でn・rを自由に変更して確認できます。
順列・組み合わせ・確率の考え方を整理する
計算だけでなく、公式の使い分けと確率計算の基本的な考え方も押さえておきましょう。
結論：まず「順序を区別するか」「重複を許すか」の2軸で考える
場合の数の公式選びで迷ったら、「並べ方（順序）を区別するか」と「同じものを何度でも選べるか（重複）」という2つの軸で考えると整理しやすくなります。
順序を区別し重複なしなら順列（nPr）、順序を区別せず重複なしなら組み合わせ（nCr）、順序を区別し重複ありなら重複順列（n^r）、順序を区別せず重複ありなら重複組み合わせという4象限に分類できます。
確率計算の基本：「条件を満たす場合の数」÷「全体の場合の数」
確率の基本公式はP = 条件を満たす場合の数 ÷ 全体の場合の数です。
たとえばサイコロ1個を振って偶数の目が出る確率は、条件を満たす場合の数（2, 4, 6の3通り）を全体の場合の数（1〜6の6通り）で割った1/2（50%）になります。
順列・組み合わせで求めた場合の数は、この確率計算の分母・分子としてそのまま活用できます。
くじ引き・抽選の当選確率は「組み合わせ」で求められる
全体n本のうち当たりがk本入ったくじから、r本を同時に引く場合の当選確率は組み合わせ（nCr）を使って求められます。
「引いたr本すべてが当たりになる確率」は、当たりからr本を選ぶ組み合わせの数を、全体からr本を選ぶ組み合わせの数で割ることで計算できます。
本ツールの抽選シミュレーターは、この考え方をもとに「全部当たる確率」と「少なくとも1本当たる確率」を自動計算します。
重複順列・重複組み合わせが登場する身近な例
重複順列は、0〜9の10種類の数字を使って4桁の暗証番号を作る場合の数（10^4 = 10,000通り）のような、桁ごとに独立して選べる場面でよく登場します。
重複組み合わせは、n種類の商品から重複を許してr個を選ぶ「福袋の中身の組み合わせ」のような、順序を問わない多重選択の場面で使われます。
よくある失敗と対策
順列（nPr）と組み合わせ（nCr）を取り違えて計算してしまう
「順位を決める」問題なのに組み合わせの公式を使ってしまったり、逆に「メンバーを選ぶだけ」の問題に順列の公式を使ってしまい、答えがr!倍ずれてしまう失敗です。
💡 対策・解決策を見る▼
重複の可否を見落とし、公式を誤って適用してしまう
「同じものを繰り返し選べる」設定なのに重複なしの順列・組み合わせの公式を使ってしまい、実際より少ない場合の数を導いてしまう失敗です。
💡 対策・解決策を見る▼
確率計算で「全体の場合の数」の数え方を間違える
条件を満たす場合の数だけを意識し、比較対象となる「全体の場合の数」を正しく数えられていないために、実際とは異なる確率を導いてしまう失敗です。
💡 対策・解決策を見る▼
くじ引きの確率を「1本ずつ独立」と誤解してしまう
くじを1本引くごとに条件が変化する（引いた分だけ残りの本数が減る）ことを考慮せず、単純に一定の確率が繰り返されると誤解してしまう失敗です。
💡 対策・解決策を見る▼
よくある質問（FAQ）
Q.順列（nPr）と組み合わせ（nCr）の違いは何ですか
A. 順列（nPr）は「順序を区別する」場合の数で、たとえば1位・2位・3位を決めるようなケースに使います。組み合わせ（nCr）は「順序を区別しない」場合の数で、たとえば3人をメンバーとして選ぶだけで順位を付けないケースに使います。同じn・rでも、nPrはnCrよりr!倍だけ大きな値になります。
Q.重複順列・重複組み合わせはどんな時に使いますか
A. 重複順列は「同じものを何度でも選んでよく、順序も区別する」場合の数で、たとえばn種類のボタンを使ってr桁の暗証番号を作る場合の数（n^r）に使います。重複組み合わせは「同じものを何度でも選んでよいが、順序は区別しない」場合の数で、たとえばn種類の商品からr個を重複可で選ぶ場合の数に使います。
Q.計算できるnやrの桁数に上限はありますか
A. 本ツールは大きな数値でも正確に計算できるよう内部でBigInt演算を使用しており、一般的な利用範囲（n・rが数百〜1000程度まで）であれば桁あふれの心配なく計算できます。nが非常に大きい場合、階乗の途中式は表示を省略し、最終結果のみを表示します。
Q.確率の計算はどのように行えばよいですか
A. 「確率」タブでは、全体の場合の数と条件を満たす場合の数を入力するだけで、分数・小数・パーセントの3つの形式で確率を自動計算します。サイコロやコイン、トランプなど、よくある確率計算のプリセットも用意しているので、ワンタップで代表的な確率を確認できます。
Q.くじ引きや抽選の当選確率も計算できますか
A. はい。「抽選の当選確率シミュレーター」では、全体の本数・当たりの本数・引く本数を入力するだけで、「引いた本すべてが当たりになる確率」と「少なくとも1本は当たりを引ける確率」の両方を自動計算します。
Q.計算結果や式を書き出す（列挙する）ことはできますか
A. nが12以下など、現実的なリスト表示件数に収まる場合に限り、実際の順列・組み合わせの一覧を書き出して確認できます。件数が多い場合は、代表として先頭の一部のみを表示し、残りの件数を注記します。
Q.入力した数値が外部に送信されることはありますか
A. ありません。本ツールはすべての計算をブラウザ内のJavaScriptだけで完結させており、入力した数値がサーバーに送信されることは一切ありません。
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